Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.
¿Cómo resolver una ecuación de primer grado? Para la resolución de ecuaciones de primer grado podríamos definir un esquema con los pasos necesarios. Para empezar comenzemos con una ecuación de primer grado sencilla: 9x − 9 + 108x − 6x − 92 = 16x + 28 + 396 Nuestro objetivo principal es dejar sola la x en uno de los terminos, el izquierdo o el derecho.
1- TRANSPOSICIÓN: Lo primero que debemos hacer es colocar los terminos con X en un lado, y los numeros enteros en otro. Para ello, podemos ver que hay algunos números que tendremos que pasarlos al otro termino. Esto lo podemos hacer teniendo en cuenta que: Si el número esta restando (Ej: −6): Pasa al otro lado sumando (+6) Si el número esta sumando (Ej: +9): Pasa al otro lado restando (−9) Si el número esta multiplicando (Ej: •2) Pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) Si el número esta dividiendo (en forma fraccionaria) (Ej: n/5) Pasa al otro lado multiplicando (•5) Una vez hemos pasado todos los terminos en nuestra ecuación, esta quedaría así: 9x + 108x − 6x − 16x = 28 + 396 + 9 + 92 Como podrás comprobar todos los monomios con X han quedado a la izquierda del signo igual, y todos los números enteros se han quedado en la derecha.
2- SIMPLIFICACIÓN: Nuestro siguiente objetivo es convertir nuestra ecuación en otra equivalente más simple y corta, por lo que realizaremos la operación de polinomios que se nos plantea Es decir en nuestro caso, por un lado realizamos la operación: 9x+108x-6x-16x Y por otro lado: 28+396+9+92 De forma que nuestra ecuación pasaría a ser esta: 95x = 475
3- DESPEJAR: Ahora es cuando debemos cumplir nuestro objetivo final, dejar la X completamente sola, para ello volveremos a recurrir a la transposición. Es decir, en nuestra ecuación deberíamos pasar el 95 al otro lado, y, como está multiplicando, pasa dividiendo: x = 475 / 95 Comprueba que el ejercicio ya está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que nos dice que la x ocultaba el número 475/95. Sin embargo debemos simplificar esto. Resolvemos la fracción (Numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto, si nos diera decimal, simplificamos la fracción y ese es el resultado. En nuestra ecuación vemos que si se puede resolver la fracción (475:95=5) por lo tanto x=5 Ya sí hemos resuelto la ecuación, es decir hemos averiguado que el número que x representaba era el 5. Resolución de ecuaciones de primer grado (Problema) Pongamos el siguiente problema: El número de canicas que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos 2.¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica: x + 3 = 2x − 2 El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x, para ello se sigue este procedimiento: x + 3 = 2x − 2//Primero se pasan todas las x al primer término y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier expresión pasa al otro término haciendo la operación opuesta. Así obtenemos: x − 2x = − 2 − 3//Que simplificado resulta: − x = − 5//Esta expresión nos lleva a una parte muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos términos de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos términos de la ecuación por el mismo número sin que esta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos términos por −1 obtendremos: x = 5//El problema está resuelto Resolución de ecuaciones de segundo grado Todas las ecuaciones de segundo grado pueden tener como mucho 2 soluciones válidas.Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones: -Ecuaciones de la forma ax2 + c = 0 Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo: x2 − 16 = 0//Pasamos −16 al segundo término x2 = 16//Ahora pasamos el exponente al segundo término haciendo la operación opuesta, en este caso raíz cuadrada
La ecuación ya está resuelta
-Ecuaciones de la forma ax2 + bx) = 0 Tengamos: 3×2 + 9x = 0//En este tipo de ecuaciones lo primero que hacemos es sacar x factor común de ambas expresiones: x(3x + 9) = 0// Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0, por lo tanto una de los factores tiene que ser igual a 0. Así que o el primer factor (x)es igual a cero (esta es la primera solución) o: 3x + 9 = 0 3x = 9
Por lo tanto, las 2 soluciones válidas para esta ecuación son 0 y 3 -Ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 Tengamos por ejemplo la ecuación: x2 + 5x − 6//Para resolver este tipo de ecuaciones utilizamos directamente la siguiente fórmula:
//Por lo tanto para resolver esta ecuación sustituimos las letras por los números:
//A partir de esta fórmula obtenemos que las soluciones válidas para esta ecuación son 1 y −6
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